حل فعالیت وکاردرکلاس صفحه14 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۴ حسابان یازدهم سلام دانش‌آموزان عزیز! برای حل این معادله، باید آن را به **فرم استاندارد یک معادله درجه دوم** ($ax^۲ + bx + c = ۰$) تبدیل کنیم و سپس با روش‌هایی مانند تجزیه یا فرمول دلتا آن را حل کنیم. ### گام اول: تبدیل به فرم استاندارد ابتدا سمت چپ را باز می‌کنیم و همه جملات را به یک سمت می‌بریم. معادله اصلی: $$(x-۱)^۲ = \frac{۱}{۲}x + ۱$$ اتحاد مربع کامل را باز می‌کنیم: $$x^۲ - ۲x + ۱ = \frac{۱}{۲}x + ۱$$ همه جملات را به سمت چپ می‌آوریم: $$x^۲ - ۲x + ۱ - \frac{۱}{۲}x - ۱ = ۰$$ ### گام دوم: ساده‌سازی معادله جملات مشابه را با هم جمع می‌کنیم ($+۱$ و $-۱$ حذف می‌شوند): $$x^۲ + (-۲ - \frac{۱}{۲})x = ۰$$ $$x^۲ + (-\frac{۴}{۲} - \frac{۱}{۲})x = ۰$$ $$x^۲ - \frac{۵}{۲}x = ۰$$ برای خلاص شدن از کسر، می‌توانیم دو طرف معادله را در ۲ ضرب کنیم: $$\mathbf{۲x^۲ - ۵x = ۰}$$ ### گام سوم: حل معادله با روش تجزیه (فاکتورگیری) از $x$ فاکتور می‌گیریم: $$x(۲x - ۵) = ۰$$ حالا با استفاده از خاصیت ضرب صفر، هر عامل را برابر با صفر قرار می‌دهیم تا ریشه‌ها را پیدا کنیم: * **ریشه اول ($x_۱$):** $$\mathbf{x_۱ = ۰}$$ * **ریشه دوم ($x_۲$):** $$۲x - ۵ = ۰$$ $$۲x = ۵$$ $$\mathbf{x_۲ = \frac{۵}{۲}} = ۲.۵$$ **جواب‌های معادله** (ریشه‌ها) $\mathbf{۰}$ و $\mathbf{\frac{۵}{۲}}$ هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۴ حسابان یازدهم بسیار عالی! برای درک ارتباط بین حل جبری معادله و حل هندسی آن، باید نمودار این دو تابع را رسم کنیم. ما دو تابع داریم: * **تابع ۱ (سهمی)**: $y = f(x) = (x-۱)^۲$ * **تابع ۲ (خط راست)**: $y = g(x) = \frac{۱}{۲}x + ۱$ --- ### ۱. رسم نمودار تابع درجه دوم (سهمی) **$$y = (x-۱)^۲$$** * **شکل اصلی:** این نمودار همان $y=x^۲$ است که **یک واحد به راست** منتقل شده است. * **رأس سهمی:** $(۱, ۰)$. * **جدول نقاط کمکی:** * اگر $x=۰$: $y = (۰-۱)^۲ = ۱$. (نقطه $(۰, ۱)$) * اگر $x=۲$: $y = (۲-۱)^۲ = ۱$. (نقطه $(۲, ۱)$) ### ۲. رسم نمودار تابع خطی (خط راست) **$$y = \frac{۱}{۲}x + ۱$$** * **فرم خط:** $y = mx + b$ که در آن $m = \frac{۱}{۲}$ (شیب مثبت) و $b = ۱$ (عرض از مبدأ). * **عرض از مبدأ:** نقطه‌ای که خط محور $y$ را قطع می‌کند. اگر $x=۰$ باشد: $y = \frac{۱}{۲}(۰) + ۱ = ۱$. (نقطه $(۰, ۱)$) * **طول از مبدأ:** نقطه‌ای که خط محور $x$ را قطع می‌کند. اگر $y=۰$ باشد: $۰ = \frac{۱}{۲}x + ۱ \implies \frac{۱}{۲}x = -۱ \implies x = -۲$. (نقطه $(-۲, ۰)$) * **نقطه کمکی:** اگر $x=۲$: $y = \frac{۱}{۲}(۲) + ۱ = ۱ + ۱ = ۲$. (نقطه $(۲, ۲)$) ### ۳. ترسیم و مشاهده (در اینجا باید نمودار رسم شود و نقاط تقاطع آن بررسی گردد.) **مشاهده نقاط تقاطع:** اگر دو نمودار را رسم کنید، متوجه می‌شوید که در دو نقطه همدیگر را قطع می‌کنند: 1. یک نقطه روی محور $y$ها: **$(۰, ۱)$** 2. یک نقطه دیگر: **$(۲.۵, ۲.۲۵)$** (یا $(\frac{۵}{۲}, \frac{۹}{۴})$)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۴ حسابان یازدهم این سوال، هدف نهایی این فعالیت را روشن می‌کند: ایجاد ارتباط بین **حل جبری یک معادله** و **حل هندسی (نموداری) آن**. ### ۱. ریشه‌های معادله (حل جبری) در فعالیت ۱، معادله $(x-۱)^۲ = \frac{۱}{۲}x + ۱$ را حل کردیم. ریشه‌هایی که به دست آوردیم عبارت بودند از: $$\mathbf{x_۱ = ۰} \quad \text{و} \quad \mathbf{x_۲ = \frac{۵}{۲} (یا ۲.۵)}$$ ### ۲. طول نقاط تلاقی نمودارها (حل هندسی) در فعالیت ۲، ما نمودار دو تابع $y_۱ = (x-۱)^۲$ و $y_۲ = \frac{۱}{۲}x + ۱$ را رسم کردیم. نقاطی که این دو نمودار یکدیگر را قطع می‌کنند، همان نقاطی هستند که در آن‌ها **$y_۱ = y_۲$** است. این تساوی همان معادله اصلی ماست: $$(x-۱)^۲ = \frac{۱}{۲}x + ۱$$ **طول‌های نقاط تلاقی** (مختصات $x$) که از روی نمودار مشاهده کردیم، عبارت بودند از: $$\mathbf{x = ۰} \quad \text{و} \quad \mathbf{x = ۲.۵}$$ ### ۳. ارتباط بین ریشه‌ها و طول نقاط تلاقی همانطور که مشاهده می‌کنید، **جواب‌های معادله** (صفرهای جبری) دقیقاً برابر با **طول‌های نقاط تقاطع دو نمودار** (جواب‌های هندسی) هستند. **نتیجه‌گیری مهم:** > **حل جبری یک معادله** که از تساوی دو تابع $f(x) = g(x)$ به دست آمده، معادل است با پیدا کردن **طول‌های (مختصات $x$) نقاط تلاقی نمودار دو تابع $y = f(x)$ و $y = g(x)$**. این اصل در حل معادلات پیچیده‌تر که حل جبری دشوار دارند، بسیار مفید است؛ چرا که می‌توان با رسم دقیق نمودارها، به صورت تقریبی ریشه‌ها را پیدا کرد. اگر دو نمودار یکدیگر را در یک نقطه قطع کنند، معادله یک ریشه دارد و اگر یکدیگر را قطع نکنند (یا مماس باشند)، ریشه‌های حقیقی ندارند (یا ریشه مضاعف دارند).